上期回顾：常微分方程Chapter3——解的存在性与唯一性（一）

3.2 Picard定理

本节将讲解常微分方程课程中最重要的定理之一——解的存在唯一性定理（Picard定理），并简单介绍条件更加宽松的Osgood定理。

【资料图】

先做一些记号的解释：为上的区间；为中的区域，其中为上的任意范数；；函数。

在给出Picard定理之前，需要先了解某一类函数满足的一种特殊性质——Lipschitz条件。

Lipschitz条件：对于上述函数，若存在实数，使得对于任意的以及，都有

则称满足关于的Lipschitz条件。

不难看出，Lipschitz条件是比连续更强的条件。此外，容易证明，对于有界闭集上的函数，只要其对于变量有连续的偏导数，则其满足Lipschitz条件。

有了上述准备工作，我们可以给出本节（乃至本章）最重要的定理。

定理3.2.1(Picard定理) 设且在上满足关于的Lipschitz条件。记，，则初值问题

在区间上存在唯一解。

证明：我们将使用最经典的Picard序列法证明这一定理。

第一步，将原初值问题化为等价的积分方程

第二步，构造Picard序列

首先需要证明上述Picard序列是良定义的，即。

采用数学归纳法，时显然成立，假设对于的所有自然数成立，则

也成立。因此Picard序列的良好定义可以保证。

下面用数学归纳法证明

时，有

成立。假设对于时成立，则

由数学归纳法知命题成立。注意到级数

收敛，由Weierstrass控制收敛定理可以得出Picard序列

在区间上一致收敛。设其极限为。

第三步，证明为原初值问题的解（即积分方程的解）。在Picard序列的递推定义式两端令可得

故满足积分方程，是原初值问题的解。至此，初值问题解的存在性得证。

第四步，证明解的唯一性。假设都是原初值问题的解，则有

由Gronwall不等式可知，又有，故，于是唯一性得证。

综上，定理证毕。

从上面的证明过程中还可以得出以下有关误差估计的推论：

推论3.2.1 对于定理3.2.1证明中的Picard序列以及初值问题的任意解，有

证明：略，使用数学归纳法即可。

Picard定理的另一经典证明是使用Banach压缩映像原理，相比于Picard序列的方法，使用压缩映像原理证明书写更加简洁。证明的详细过程留作习题（doge）。

接下来看几个例子。

例3.2.1 求解初值问题

这是分离变量方程，运用2.2节中的知识可解得通解

此时根据给定的初值条件不能确定唯一解，例如以下两个解

都是原初值问题的解。事实上，该方程在处不满足Lipschitz条件。

例3.2.2 利用Picard序列迭代的方式求解

由Picard序列定义可得

以此类推可得解为

实际上，Picard定理中的Lipschitz条件可以换为更加宽松的Osgood条件。

Osgood条件：符号定义基本同前，如果存在函数，满足

①.

②对于任意和，都有

③对于任意，都有

则称函数满足Osgood条件。

注意到若某函数满足Lipschitz条件，则其必定满足Osgood条件（取即可）。

基于上述条件，我们有如下定理（此处我们只给出标量函数的版本，向量值函数的版本需要更多的知识）：

定理3.2.2(Osgood定理) 符号定义同前（标量值函数版本有），若函数满足Osgood条件，则存在实数使得初值问题(*)在存在唯一解。

证明：存在性由下节的Peano定理保证，下面只证明唯一性。

假设初值问题(*)有两个不同解，则存在，使得（不妨设）。

则有

考虑集合

注意到，又有连续性，故为非空有界闭集。

于是有最大元。

当时，必定有。（为什么？）

记，则在区间恒正且

由Osgood条件可知

于是

这与Osgood条件矛盾，因此假设不成立，初值问题的解唯一。

例3.2.3 考虑初值问题

当时，容易证明上述该方程不满足Lipschitz条件，但满足Osgood条件，因此初值问题的解存在唯一。

例3.2.4(Müller方程) 考虑初值问题

其中

容易验证该函数不满足Lipschitz条件，本问题的Picard序列

不收敛。但是有以下引理保证了该问题解的存在唯一性。（你能求出这个解吗？）

引理3.2.1 若初值问题(*)中的函数关于变量单调，则初值问题在时有唯一解。

证明留作习题。（提示：参考Osgood定理的证明，使用Lagrange中值定理）